بسم الله الرحمن الرحیم

اين مسئله را همه ما تجربه كرده ايم اما شايد هيچ كدام از ما به طور جدي روي آن فكر نكرده باشيم.

اگر ورق را هر بار طوري تا كنيد كه اندازه آن نصف شود بيش از 7 يا 8 بار نمي توانيد آن را تا كنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعي كرده باشيد كه آن را امتحان كنيد و متوجه شده باشيد كه تا كردن كاغذ بيش از7 يا 8 بار بسيار سخت است.  آيا مي توان گفت كه اين اعداد يك محدوديت مستدل و عمومي براي تا كردن كاغذ هستند؟

فرض كنيد شما كاغذي را انتخاب كرده ايد كه داراي پهناي w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا كردن ورق از يك سمت بكنيد وقتي به جايي برسيد كه ديگر نتوانيد كاغذ را تا كنيد يك نوار باريك خواهيد داشت.
با هر تا كردني ضخامت كاغذ دو برابر مي شود و پهناي آن نصف خواهد شد. يعني بعد از N بار تا كردن ضخامت  خواهد بود و البته مشخص است كه پهنا  مي شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر  مي شود.
اگر با كاغذي به پهناي 11cm و ضخامت 0.002cm اين كار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا كردن نسبتt/w برابر 1/6 مي شود. اين بدان معنيست كه اندازه ضخامت از پهنا بيشتر مي شود و در نتيجه ديگر قادر به تا كردن كاغذ نخواهيد بود. اگر اين كاغذ را 50 بار بزرگتر كنيد شايد بتوانيد آن را تا 10 بار هم تا كنيد.

اگر به صورت متناوب كاغذ را از عرض و طول تا كنيد ممكن است تعداد دفعات بيشتري بتوانيد به تا كردن كاغذ ادامه دهيد. در اين صورت هر بارضخامت دو برابر مي شود در صورتي كه پهنا هر دو دفعه يك بار نصف مي شود.

چندين سال پيش هنگامي كه بريتني گاليوان در دبيرستان درس مي خواند با اين مسئله رو به رو شد كه چگونه كاغذي زا 12 بار تا كند . او بايد براي گرفتن نمره از يكي از كلاسهايش اين مسئله را حل مي كرد. بعد از آزمايش راه هاي مختلف او موفق شد كه ورقه نازكي از طلا را 12 بار تا كند. اما مسئله طرح شده در باره كاغذ بود و نه طلا.

گاليوان بر روي معادله تعداد دفعاتي كه مي توان يك كاغذ با اندازه معين را تا كرد كار كرد.

كه در آن L كمترين درازاي كاغذ، t ميزان ضخامت كاغذ و n تعداد دفعاتي است كه مي توان كاغذ را تا كرد. واحد t و L بايد يكسان باشد.

براي يك طول و ضخامت معين عبارت  بيانگر آن است كه صفحه بعد از n بار تاكردن چند برابر كوچك شده است. با n=0 شروع مي كنيم و به همين ترتيب به رشته اي از اعداد به اين صورت مي رسيم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

اين به اين معني است كه در تاي دوازدهم 2798250 برابر مقدار كاغذي كه در تاي اول از دست مي رود از دست خواهد رفت.

گاليوان در كتابي با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگي به دست آوردن اين معادله و تلاشش براي حل مشكل را توضيح داده است. بالاخره در June 2002 گاليوان يك كاغذ بزرگ را 12 بار تا كرد.

منبع : سايت ملاصدرا